| Fractali |
© 2010 Centrul pentru Studii Complexe. Toate drepturile rezervate.
Conceptul de fractal a fost introdus prin 1975 de părintele geometriei fractale moderne, Benoit
Mandelbrot, pentru a permite studiul matematic al proprietăţii sistemelor neregulate.
Fractalii sunt structuri complicate, generate printr-un proces recursiv de aplicare la nesfârşit a unei legi
de construcţie asupra propriului produs. Fractalii reprezintă nişte grafice obţinute recurent, după o regulă
stabilită iniţial, sau care se schimbă aleatoriu şi prezintă o serie de proprietăţi precum autosimilaritate,
invariantă la scalare, dimensiune proprie neîntreagă (dimensiune fracţionară) care înseamnă practic că o
parte din structură seamănă cu întregul; orice decupare la scară oarecare sau anume aleasă, aduce în faţa
ochilor noştri aceeaşi "informaţie", ne dezvăluie acelaşi aspect.
Alexander F. Walz consideră un fractal ca fiind o schemă copiată de o infinitate de ori într-un spaţiu finit.
Dacă un obiect compus din elemente asemenea cu el are dimensiunea D, poate fi împărţit în nD elemente
de n ori mai mici, atunci dimensiunea sa fractală este dată de relaţia:
Mandelbrot, pentru a permite studiul matematic al proprietăţii sistemelor neregulate.
Fractalii sunt structuri complicate, generate printr-un proces recursiv de aplicare la nesfârşit a unei legi
de construcţie asupra propriului produs. Fractalii reprezintă nişte grafice obţinute recurent, după o regulă
stabilită iniţial, sau care se schimbă aleatoriu şi prezintă o serie de proprietăţi precum autosimilaritate,
invariantă la scalare, dimensiune proprie neîntreagă (dimensiune fracţionară) care înseamnă practic că o
parte din structură seamănă cu întregul; orice decupare la scară oarecare sau anume aleasă, aduce în faţa
ochilor noştri aceeaşi "informaţie", ne dezvăluie acelaşi aspect.
Alexander F. Walz consideră un fractal ca fiind o schemă copiată de o infinitate de ori într-un spaţiu finit.
Dacă un obiect compus din elemente asemenea cu el are dimensiunea D, poate fi împărţit în nD elemente
de n ori mai mici, atunci dimensiunea sa fractală este dată de relaţia:
Condiţia necesară pentru valabilitatea aceastei formule este asemănarea dintre obiect şi piesele sale
constitutive, această aproximare a dimensiunii fractale se mai numeşte dimensiune de auto-asemănare.
Condiţia ca o figură geometrică să fie fractal este ca numărul de obiecte geometrice generate recurent să
fie extrem de mare. Există aşa numiţii: fractali uniformi, obţinuţi prin aplicarea unui unic factor de scară,
fractali neuniformi, obţinuţi prin aplicarea simultană a doi factori de scară şi fractali aleatori, care se
generează absolut întâmplător.
Exemple de fractali matematici:
CURBA LUI VON KOCH - un fractal geometric determinist
Generarea sa implică alegerea unui :
- INIŢIATOR (dreapta), a unei
- LEGI de construcţie (de transformare, de deformare, de rupere, etc) şi un
- PROCES ce repetă la nesfârşit aceeaşi operaţie dictată de legea aleasă, asupra fiecărei părţi rezultate din
operaţia iniţială.
Concret, în acest caz legea impune că dreapta să fie divizată în trei părti egale, să fie înlăturată partea
centrală şi în locul ei să se pună un triunghi echilateral fără bază.
Dacă veţi rula programul nostru de generare a curbei lui Von Koch, veţi identifica uşor această primă etapă.
Apoi intervine procesul recursiv ce presupune aplicarea legii pe fiecare segment de dreaptă rezultat.
constitutive, această aproximare a dimensiunii fractale se mai numeşte dimensiune de auto-asemănare.
Condiţia ca o figură geometrică să fie fractal este ca numărul de obiecte geometrice generate recurent să
fie extrem de mare. Există aşa numiţii: fractali uniformi, obţinuţi prin aplicarea unui unic factor de scară,
fractali neuniformi, obţinuţi prin aplicarea simultană a doi factori de scară şi fractali aleatori, care se
generează absolut întâmplător.
Exemple de fractali matematici:
CURBA LUI VON KOCH - un fractal geometric determinist
Generarea sa implică alegerea unui :
- INIŢIATOR (dreapta), a unei
- LEGI de construcţie (de transformare, de deformare, de rupere, etc) şi un
- PROCES ce repetă la nesfârşit aceeaşi operaţie dictată de legea aleasă, asupra fiecărei părţi rezultate din
operaţia iniţială.
Concret, în acest caz legea impune că dreapta să fie divizată în trei părti egale, să fie înlăturată partea
centrală şi în locul ei să se pună un triunghi echilateral fără bază.
Dacă veţi rula programul nostru de generare a curbei lui Von Koch, veţi identifica uşor această primă etapă.
Apoi intervine procesul recursiv ce presupune aplicarea legii pe fiecare segment de dreaptă rezultat.
În acest caz, cele 4 segmente devin, fiecare în parte, un "nou" iniţiator, suportul a 4 "imagini" micşorate
şi aşezate după aceeaşi regulă. Şi aşa mai departe... Să nu uităm că mintea noastră trebuie să reia esenţa
procesului şi să o continue la infinit, căci doar după infinit de mulţi paşi se obţine ceea ce se numeşte
Fractalul lui Koch.
Această curbă este de lungime infinită şi are o dimensiune proprie între 1 şi 2. Este un obiect "ciudat"
pentru gândirea unui om neobişnuit să lucreze în abstract. Este o curbă continuă, nederivabilă în nici un
punct, care depăşeşte "natura" unei linii, dar nu atinge calitatea de a fi suprafaţă. Dimensiunea proprie,
caracteristică curbei Koch este:
Df = Ln(4) / Ln(3) = 1.26185........
Cum se ajunge la această valoare, citiţi în bibliografia indicată de noi.
Ne-am obişnuit să producem şi să cerem 100 m liniari (D=1) de sârma, o suprafaţă de mochetă de
100 m pătraţi (D=2). Oare vom ajunge să construim în viitor obiecte care să necesite cuvintele: -vă rog să-mi
daţi şi mie 173 de metri la puterea 1.26 din acea structură ....?!?! (vă invităm să experimentaţi singuri în
programul (koch.zip-20K) rulabil sub DOS după decomprimare, pe orice calculator (de la 286 în sus)
PRAFUL LUI CANTOR
O altă variantă la fel de cunoscută în lumea fractalilor este praful lui Cantor. Ideea de generare este
aceeaşi. Se porneşte de la un iniţiator ce este şi în acest caz un segment de dreaptă. Legea de generare
presupune doar îndepărtarea treimii din mijloc a segmentului.
şi aşezate după aceeaşi regulă. Şi aşa mai departe... Să nu uităm că mintea noastră trebuie să reia esenţa
procesului şi să o continue la infinit, căci doar după infinit de mulţi paşi se obţine ceea ce se numeşte
Fractalul lui Koch.
Această curbă este de lungime infinită şi are o dimensiune proprie între 1 şi 2. Este un obiect "ciudat"
pentru gândirea unui om neobişnuit să lucreze în abstract. Este o curbă continuă, nederivabilă în nici un
punct, care depăşeşte "natura" unei linii, dar nu atinge calitatea de a fi suprafaţă. Dimensiunea proprie,
caracteristică curbei Koch este:
Df = Ln(4) / Ln(3) = 1.26185........
Cum se ajunge la această valoare, citiţi în bibliografia indicată de noi.
Ne-am obişnuit să producem şi să cerem 100 m liniari (D=1) de sârma, o suprafaţă de mochetă de
100 m pătraţi (D=2). Oare vom ajunge să construim în viitor obiecte care să necesite cuvintele: -vă rog să-mi
daţi şi mie 173 de metri la puterea 1.26 din acea structură ....?!?! (vă invităm să experimentaţi singuri în
programul (koch.zip-20K) rulabil sub DOS după decomprimare, pe orice calculator (de la 286 în sus)
PRAFUL LUI CANTOR
O altă variantă la fel de cunoscută în lumea fractalilor este praful lui Cantor. Ideea de generare este
aceeaşi. Se porneşte de la un iniţiator ce este şi în acest caz un segment de dreaptă. Legea de generare
presupune doar îndepărtarea treimii din mijloc a segmentului.
În acest mod, prin repetarea la nesfârşit a legii, se obţine o structură alcătuită dintr-un set de puncte,
structură caracterizată printr-o dimensiune dată de relaţia:
Df = Ln(2) / Ln(3) = 0.63092.....
Din nou o structură particulară, cu dimensiune intermediară cazurilor cunoscute de geometria euclidiană.
Nici de dimensiune zero, specifică punctului, dar nici de dimensiune 1, specifică liniei, ci 0.63092... Un mic
"monstru" matematic, scufundat într-o linie, dar care are identitate doar în spaţiul 0.63092...
Oare câte fenomene fizice ce se desfăşoară în jurul nostru ar putea fi descrise, caracterizate prin acest
model al prafului lui Cantor. Mai multe informaţii despre acest subiect în Cartea lui Alain Boutot "Inventarea
Formelor" din colecţia Știinţa Complexităţii a editurii NEMIRA, pe care vă invităm sa o citiţi cu atenţie, chiar
daca pe alocuri vă va părea dificilă.
TRIUNGHIUL LUI SIERPINSKI:
structură caracterizată printr-o dimensiune dată de relaţia:
Df = Ln(2) / Ln(3) = 0.63092.....
Din nou o structură particulară, cu dimensiune intermediară cazurilor cunoscute de geometria euclidiană.
Nici de dimensiune zero, specifică punctului, dar nici de dimensiune 1, specifică liniei, ci 0.63092... Un mic
"monstru" matematic, scufundat într-o linie, dar care are identitate doar în spaţiul 0.63092...
Oare câte fenomene fizice ce se desfăşoară în jurul nostru ar putea fi descrise, caracterizate prin acest
model al prafului lui Cantor. Mai multe informaţii despre acest subiect în Cartea lui Alain Boutot "Inventarea
Formelor" din colecţia Știinţa Complexităţii a editurii NEMIRA, pe care vă invităm sa o citiţi cu atenţie, chiar
daca pe alocuri vă va părea dificilă.
TRIUNGHIUL LUI SIERPINSKI:
r1 = 1/2, N( r1 ) = 3
r3 = 1/8, N( r3 ) = 27
r2 = 1/4, N( r2 ) = 9
COVORUL LUI SIERPINSKI:
-Fractal obținut prin aplicarea unui unic factor de scară:
-Fractal obținut prin aplicarea unui unic factor de scară:
-Fractal obținut prin aplicarea a doi factori de scară:
Pe masură ce studiul fractalilor matematici s-a aprofundat a apărut necesitatea clasificării acestora.
Astfel au apărut clase cum ar fi: buretele lui Menger, curba lui Peano, curba Dragonului, curba Koch, fractalul
lui Lyapunov şi mulţimile limită ale grupurilor Kleiniene. De asemenea ca și clasificare, în funcție de
proprietăți, fractalii pot fi determinişti (cei enumerați mai înainte) sau stocastici (nedeterminişti).
Astfel au apărut clase cum ar fi: buretele lui Menger, curba lui Peano, curba Dragonului, curba Koch, fractalul
lui Lyapunov şi mulţimile limită ale grupurilor Kleiniene. De asemenea ca și clasificare, în funcție de
proprietăți, fractalii pot fi determinişti (cei enumerați mai înainte) sau stocastici (nedeterminişti).
[ Site Initial ]
